BiLANGAN BINER OKTAL DAN DESIMAL

Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit, atau Binary Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte/bita. Dalam istilah komputer, 1 Byte = 8 bit. Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII, American Standard Code for Information Interchange menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte.

2⁰=1

2¹=2

2²=4

2³=8

2⁴=16

2⁵=32

2⁶=64

dst

Dalam sistem komunikasi digital modern, dimana data ditransmisikan dalam bentuk bit-bit biner, dibutuhkan sistem yang tahan terhadap noise yang terdapat di kanal transmisi sehingga data yang ditransmisikan tersebut dapat diterima dengan benar. Kesalahan dalam pengiriman atau penerimaan data merupakan permasalahan yang mendasar yang memberikan dampak yang sangat signifikan pada sistem komunikasi.^[1] Biner yang biasa dipakai itu ada 8 digit angka dan cuma berisikan angka 1 dan 0, tidak ada angka lainnya

Sistem bilangan biner adalah salah satu dari 4 sistem bilangan yang digunakan komputer.  Sistem bilangan biner merupakan bilangan yang menggunakan basis 2 serta 2 macam simbol bilangan 0 dan 1. Contoh dari bilangan biner seperti 1110.

Guna lebih paham mengenai apa itu sistem bilangan biner, maka dapat mengkonversi bilangan biner 1110 ke bilangan desimal. Nilai 1110=14 (bilangan desimal). Pertambahan bilangan biner dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pertambahan bilangan desimal. Berikut ini adalah dasar pertambahan untuk masing-masing digit bilangan biner.

0+0=0

1+0=1

0+1=1

1+1=0, *)

*) Dengan carry of 1 keadaan normal 1+1=2, akan tetapi digit terbesar biner yaitu 1, maka perlu dikurangi dengan 2 atau basis. Sehingga 2-2=0 dengan carry of 1.

Sistem bilangan biner

• Pertambahan Bilangan Biner

Contoh pertambahan dari bilangan biner yaitu 1110(14)+10101 (21)=100011(35)

• Pengurangan bilangan biner

Operasi pengurangan bilangan biner sama dengan pengurangan bilangan desimal. Dasar pengurangannya adalah sebagai berikut:

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 (dengan meminjam digit 1dari posisi sebelah kirinya).

Contonhya :

10101(21)-1110(14)=00111(7)

• Pembagian Bilangan Biner

Operasi pembagian bilangan biner sama dengan pembagian bilangan desimal. Dasar pembagian digit bilangan biner yaitu seperti:

0:1=0

1:1=1

Misalnya :

1001(9):11(3)=11(3)

• Perkalian Bilangan Biner

Perkalian bilangan biner juga sama halnya dengan perkalian bilangan desimal. Contohnya yaitu seperti:

1101(13)x 1010(10)=10000010(130)

Selain sistem bilangan biner ada juga informasi lain yang bisa Anda ketahui yakni bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b, dan a/b bilangan bulat serta b tidak sama dengan 0. Batasan daripada bilangan rasional yakni mulai dari selanga. Bilangan dibagi menjadi dua, pertama bilangan rasional dan kedua adalah irasional. Bilangan rasional terdiri dari bilangan prima, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, dan bilangan-bilangan lainnya berhubungan dengan bilangan rasional.

Contoh dari bilangan rasional yaitu :

Jika a/b = c/d maka, ad = bc

a/b + c/d = ad + bc / bd

a/b . c/d = ac / bd

• (a/b) = -a/b = a / -b dan (a/b)-1 = b/a jika a tidak sama dengan 0
• a/b : c/d = ad / bc

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a serta b merupakan anggota bilangan bulat. Bilangan rasional dinyatakan dalam bentuk pecahan serta desimal. Banyak orang yang menganggap bahwa bilangan desimal pasti ada komanya, padahal tidak selalu begitu. Penulisan bilangan tunggal contohnya 2 juga disebut sebagai penulisan desimal. Sebab tanda koma digunakan untuk pembagian dua buah bilangan yang memiliki sisa, guna keperluan ketelitian, dan penulisan angka penting.

A. Pengertian Sistem Bilangan 
Sistem bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki basis tertentu.
Notasi penulisan sistem bilangan adalah (n)basis.
Basis pada sistem bilangan menunjukkan jumlah koefisien/angka yang terdapat pada bilangan tersebut (dimulai dari 0 dan seterusnya).

Misalnya: sistem bilangan yang kita gunakan sehari-hari adalah desimal.
Sistem bilangan desimal mempunyai basis 10 yaitu terdiri dari koefisien 0-9.

B. Macam-macam Sistem Bilangan
Sistem bilangan terdiri dari empat yaitu: desimal, biner, oktal, dan heksadesimal.

1. Bilangan Biner
Bilangan biner adalah susunan bilangan yang mempunyai basis dua. 
Basis dua di sini adalah nilai koefisien yaitu 0 dan 1.
Notasi bilangan biner dituliskan : (n)2

2. Bilangan Oktal
Bilangan oktal adalah susunan bilangan yang mempunyai basis delapan. 
Koefisien bilangan oktal terdiri dari 0,1,2,3,4,5,6,7.
Notasi bilangan oktal dituliskan : (n)8

3. Bilangan Desimal
Bilangan oktal adalah susunan bilangan yang mempunyai basis sepuluh. 
Koefisien bilangan desimal terdiri dari 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Notasi bilangan desimal dituliskan: (n)10

4.  Bilangan Heksadesimal
Bilangan oktal adalah susunan bilangan yang mempunyai basis enam belas. 
Koefisien bilangan heksadesimal terdiri dari 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F.
Catatan: A bernilai 10, B bernilai 11, ... , F bernilai 15.
Notasi bilangan hekasdesimal dituliskan : (n)16

Untuk tabel sistem bilangan dapat dilihat gambar berikut:

C. Konversi Bilangan
1. Bilangan n berbasis r ke desimal
Rumusnya adalah: ... + a_(n+1)*r ⁽ⁿ⁺¹⁾ + a_n*r ⁿ + a_(n-1)*r ^(n-1) + ...
Contoh: ... + a₁*r ¹ + a₀*r ⁰ + a_-1*r ^-1 + ...

Catatan: 
a adalah bilangan awal
r adalah basis
n adalah pangkat bilangan
  *dimulai dari paling kanan bernilai 0 lalu berlanjut ke kiri menjadi 1,2,dst..
  *jika ada koma, maka yang disebelah kanan menjadi -1,-2,dst.. 

Misalnya:

-         11011,11₍₂₎         = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ + 1.2^-1 + 1.2^-2

= 16 + 8 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25

= 27,75₍₁₀₎

-         642,5₍₇₎               = 6*7² + 4*7¹ + 2*7⁰ + 5*7^-1

= 294 + 28 + 2 + 0,712

= 324,712₍₁₀₎

2. Desimal ke Biner
Caranya:
a. bilangan dibagi dengan 2 lalu tuliskan hasil dan sisa pembagian
b. hasil pembagian tersebut dibagi lagi dengan 2 lalu tuliskan hasil dan sisa
c. ulangi langkah-langkah diatas sampai hasil terakhirnya harus 0
d. tuliskan seluruh sisa pembagian, itu adalah bentuk biner

          Misal:

-         41₍₁₀₎ diubah ke biner

            Hasil           Sisa

          41/2            20               1

          20/2            10               0

          10/2            5                 0

          5/2              2                 1

          2/2              1                 0

          1/2              0                 1 

          Jadi hasilnya adalah 101001_{(2)
       Catatan: untuk penulisan hasil adalah dari bawah keatas.}

3. Desimal ke oktal dan heksadesimal
Caranya hampir sama dengan desimal ke biner:
a. untuk bilangan oktal dibagi dengan 8
b. untuk bilangan heksadesimal dibagi dengan 16

          Misalnya:

-         Tuliskan 179₍₁₀₎ dalam bentuk oktal

              Hasil           Sisa

          179/8          22               3

          22/8            2                 6

          2/8              0                 2

          Jadi hasilnya adalah 263₍₈₎

-         Tuliskan 179₍₁₀₎ dalam bentuk heksadesimal

            Hasil           Sisa

          179/16        11               3

          11/16          0                 B

          Jadi hasilnya adalah B3₍₁₆₎
       Catatan: untuk penulisan hasil juga dari bawah keatas.

*Cara Cepat Konversi Biner ke Desimal
Cara cepatnya adalah dengan menghitung kelipatan 1,2,4,8,16,32,64,128,dst.. dari digit paling kanan (yang dihitung hanyalah koefisien bernilai 1)

Contoh: 10110001 =   1   0  1  1  0  0  0  1
                                    128    64    32     16      8       4       2      1
Maka hasilnya adalah 1+16+32+128 = 177

4. Biner ke Oktal
Caranya:
a. kelompokkan bilangan dalam bentuk tiga digit dimulai dari kanan
b. jika bilangan dalam bentuk koma, maka acuan pengelompokannya harus di koma
c. hitunglah hasil konversi bilangan biner per kelompok
d. tuliskan hasilnya dengan berurutan

          Misalnya:

-         10110011₍₂₎                 = 10|110|011_{(2)
                                    =   2    3     6}

=  236₍₈₎

-         101011,111100₍₂₎        = 101|011,|111|100_{(2)
                                          =    5      3    ,   7     4}

=  53,74₍₈₎

5. Biner ke Heksadesimal
Caranya hampir sama dengan biner ke oktal tetapi:
a. pada heksadesimal pengelompokannya adalah 4
b. jika hasilnya >9 maka dilanjutkan dengan A,B,C,D,E,F

          Misal:

-         10110011₍₂₎                = 1011|0011_{(2)
                                          =    11       3}

=  B3₍₁₆₎

6. Oktal dan Heksadesimal ke Biner
Caranya adalah kebalikan dari cara yang tadi:
konversikan desimal ke biner lalu kelompokkan menurut oktal (tiga digit) atau heksadesimal (empat digit)

          Misalnya:

-         263₍₈₎                          = 2        6       3

= 010  110   011

= 010110011₍₂₎

-         B3₍₁₆₎                          = 11          3

= 1011    0011

= 10110011₍₂₎

D. Komplemen

1. Komplemen 1
Adalah kebalikan dari bilangan biner tersebut:
1 menjadi 0 dan 0 menjadi 1

          Misalnya:

-         00001100₍₂₎                k1 = 11110011₍₂₎

2. Komplemen 2
Adalah komplemen 1 yang hasilnya ditambah dengan 1

          Misalnya:

-         00001100₍₂₎                k1 = 11110011₍₂₎

k2 = 11110011₍₂₎ + 00000001 = 11110100₍₂₎